UNIDAD III

Construcción 9: postulados de las rectas paralelas y su inverso.

Traza dos rectas paralelas las cuales llamaremos L y L2 , a estas dos las cortaremos por una transversal, y en seguida le ponemos nombre a sus dos ángulos, A y B

Este postulado dice que el angulo A(G) mas el angulo B(Z) es igual a 180°, y Si A +B es menos de 180° se interceptan a la izquierda, de lo contrario se interceptan a la derecha.

UNIDAD III

"Triángulos,  sus rectas y puntos notables"

Construcción 12) Triángulos
Construye dos triángulos: con cuyas longitudes de sus tres lados sean iguales al segmento AB, y el otro AC. Clasifica ambos triángulos de acuerdo con sus lados y sus ángulos.

• Traza un segmento largo sin medida, ese se llamara A´
• Después abrimos nuestro compás  del segmento A al segmento B, hacemos centro con A´y donde intersecta la circunferencia con la semirrecta le pondremos B
• Con esa misma medida hacemos centro en A´, trazamos una parte de la circunferencia , y después hacemos lo mismo en B´(hay que asegurar que las dos circunferencias intersecten)
• Marcaremos un punto donde se intersecten  esas dos circunferencia y las llamaremos D´, y trazamos un segmento  del punto D´al A´, y del D´al B´
• Para el otro triángulo hacemos lo mismo pero con las medidas de A al C

Construcción 13) Construye dos triángulos: en el primero con dos lados cuya longitud sea igual al segmento AB y el tercer lado al segmento BC. Y el segundo con dos segmentos iguales al segmento AB y el tercer lado al segmento AC. Clasifica ambos triángulos de acuerdo con sus lados y a sus ángulos.

•  Traza una línea auxiliar en un espacio libre.
• Con tu compás toma la medida del segmento AB y ponla en la línea auxiliar marcando donde hiciste centro(pon un punto).
•  Corta con esa medida la línea y pon un punto, pon letras en estos puntos.
• Con la misma medida al paso anterior haz centro en uno de los extremos del segmento (una de las letras y traza un arco grande arriba o abajo del segmento.
• Toma con tu compás la medida del segmento BC.
• Haz centro con la medida anterior en la letra opuesta a la que usaste para trazar el arco que hiciste anteriormente y traza un nuevo arco que se intercepte con el primero trazado.
• Pon un punto en donde se cruzan los arcos y Pon una letra.
• Forma un triángulo con los 3 puntos que ya tienes (los que pusiste en la línea auxiliar y en donde cruzan los arcos)
•  el segundo triángulo de hará con la mismo procedimiento solo que se sustituirá la medida de AB en el paso 2 al 4 y la medida BC a la AC en el paso siguiente.
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Construcción 14) Triángulo escaleno

Construye dos triángulos: uno con las longitudes de los segmentos AB, BC, CD y el otro con las longitudes de los segmentos AC, BD, AD. Clasifica ambos triángulos de acuerdo con sus lados y a sus ángulos.

• Trazamos una semirecta donde a un punto (en mi caso yo lo llame E)luego abriremos nuestro compás del punto B al C .Haremos centro en E ,y donde intersecte la recta con el compás,le llamaremos F
• Luego abriremos nuestro compás del punto A al B ,después haremos centro en E, y trazaremos media circunferencia y luego abrimos nuestro compás del punto C al D hacemos centro en F y dodne intersecten las dos circunferencias a ese punto le llamaremos G
• Trazamos otra semirecta y ahora lo que haremos sera abrir el compás del punto A al D, al punto del lado izquierdo lo llamaremos H y al otro donde se intersecta las dos rectas la llamamos I.
• Ahora con el compás lo abriremos del punto A al  C y con esa medida hacemos centro en H y hacemos una circunferencia. Bueno ahora abrimos nuestro compas del punto B al D y haremos centro en el punto I y vamos hacer una circunferencia y que esta intersec y en ese punto que se unen lo llamamos J.

Construcción 15) Desigualdad del triángulo

¿Se puede contruir un triángulo cuyos lados midan cualesquiera valores? Si no es así entonces que requisitos necesita cumplir cda lado. Construye con tu regla y compás triángulos cuyos midan:

A) 2, 4, 5 unidades

B) 2, 6, 5 unidades

C) 6, 3, 2 unidades 

• Hay que marcar una línea y marcar un punto en ella  , lo llamaremos A, con el compás hay que marcar una distancia de las ya dadas en el insiso A) , una vez ya marcada el segundo punto lo llamamos B

• Hacemos centro en A y marcamos la segunda distancia, marcar la parábola y haciendo en el punto B y marcamos la 3 distancia, donde chocan  hacer punto y unir esas líneas.

• Hacemos lo mismo con las demas distancias y unir igual, al hacer esta nos daremos cuenta que estas 3 líneas no se van a juntar y no van a firmar nada.

• Igual el tercero al hacerlo nos daremos cuenta que tampoco se logra hacer un triangulo , como lo muestra la sig imagen:

(en la parte de abajo de la imagen podremos explicar la razon del ¿por qué? es la desigualdad de los triángulos)

Construcción 16) Suma de ángulos interiores

Dado el siguiente triángulo prueba que la suma de los ángulos interiores es igual a 180°

• Pondremos nombre a cada vértice del triangulo,A B C
• tomar un ángulo del triangulo marcado, o sea una punta del triangulo.
• Con la ayuda del compás marcamos una parábola de las otras puntas del triangulo, una vez ya marcadas de las 3 punta de nuevo abrimos el compás a la medida de punta a punta de la parábola ya dada y la marcamos a partir de la punta del ángulo tomado (la transportamos) marcamos el punto haciendo punto en A  y marcando la parábola, hay que hacer lo mismo en el otro ángulo y lo volvemos a marcar del otro lado del punto A .
• Una vez ya marcadas las 2 medidas de los ángulos una alado de otro marcamos una línea recta que pase por esos 3 puntos .
• Se supone que hay que tener una línea recta .

Construcción 17) Suma de ángulos exteriores 

Dado el siguiente triángulo prueba que la suma de los ángulos exteriores es igual a 360°

• Trazaremos una recta independiente y pondremos un punto en la recta y nos servirá de centro
• Le pondremos a cada vértice del triángulo un nombre por ejemplo A,B,C, ahora, para reconocer el ángulo exterior solo tendremos que prolongar todas las lineas, todos los que NO sean opuestos al vértice son el ángulo exterior
• Ahora se hará centro en A y se abrirá el compás de tal manera que la circunferencia corte los dos lados del triángulo a
• Tomaremos esa medidas y haremos centro en el punto que hicimos en la recta  trazaremos nuestra circunferencia, aquí buscamos que solo corte un lado de la recta, después abrimos nuestro compás  en las dos intersecciones que hizo nuestra circunferencia en el triángulo, teniendo esa medidas en el compás vamos a esa ineterseccion que hizo la circunferencia con la recta y nos daremos cuenta que la nueva circunferencia intersectra con la primera circunferencia de las rectas, después esa intersección la unimos al centro
• Se hace lo mismo con los ángulos que faltan, al final queda una circunferencia y nos daremos cuenta de que si cumple con las características de tener 360°

Construcción 18) Suma de dos ángulos interiores es igual al ángulo exterior no adyacente. Dado el siguiente triángulo prueba que la suma de dos ángulos es igual al ángulo exterior no adyacente

• Le pondremos nombre a los ángulos del vértice del angulo,A,B,C para los ángulos interiores, y a,b,c para los exteriores ahora sabemos que C y sumados dan 180°,entonces sabemos que A +B=180° -C, por lo tanto A+B= c
• Trazaremos una recta independiente
• Marcaremos un centro
• Traspasaremos el angulo A ,a la recta ,lo haremos haciendo centro con el compás en el vértice del angulo a,y abriremos de una manera que corte los 2 lados del triangulo,ahora esa medida la pasaremos a la recta
• Haciendo centro en el punto que colocamos trazaremos una circunferencia,de forma que corte con la recta,con un lado es suficiente
• Luego abriremos el compás a la medida de las 2 intersecciones que se formaron en el triangulo,cuando hicimos centro en el vértice de a,y en la intersección que marco la circunferencia con la recta ,ahí,haremos centro,y nos daremos cuenta que esa circunferencia intersecta,con la circunferencia,esa intersección la uniremos al centro,
• Se repetaran los mismos paso,s olo que ahora con las medidas del angulo b),y la primera circunferencia,haremos centro,en el centro que marcamos en la recta,y el segundo centro lo haremos en la intersección de las 2 primeras circunferencia es decir ,el que nos ayudo a traspasar el primer angulo,y eso sera todo,podremos comprobar que ese es la suma que es igual al angulo c,solo traspasamos ese angulo a la misma recta,y coincidirán.

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Construcciones Unidad III

Construcciones Unidad III

"CONSTRUCCIONES, REGLA, COMPÁS Y MÁS "

Construcción 1) En el siguiente espacio construye al menos 3 circunferencias.

• Traza con la ayuda de una regla 3 segmentos diferentes
• Después marca un punto en cualquier parte de la hoja. a ese punto le pondremos una C (centro)
• Con ayuda de tu compás lo que haremos sera abrirlo al tamaño de uno de los segmentos que trazas
• Haremos centro en el punto que acabamos de marcar y después con la medida que tiene el compás, haremos un circulo
• Esta fue la primera circunferencia, por lo cual para poder diferenciarla de las otras dos, llamaremos nuestro segmento AB (AB tendrán una linea arriba)
• AB es el tamaño de nuestro primer segmento, por lo tanto también se le pondrá A en una esquina y B en la otra esquina
• De esta misma haremos lo mismo pero con los otros dos segmento. Ahora estos segmentos se llamaran DE y FG. Puedes poner otros puntos alejados del que ya habías marcado 

CONCLUSIÓN: Una circunferencia requiere para su trazo de UN PUNTO Y RADIO ( medida)

Construcción 2) Si AB es un segmento entonces construye 3 segmentos congruentes a él usando regla y compás no graduados.

• Traza tres lsegmentos congruentes en cualquier pate de la hoja
• Con tu compas toma la medida que ay entre el segmento AB
• En cada segmento que trazamos antes, pon la punta de tu compás en done quieras de la misma y marca la distancia ya medida en el segmento anterior para después poner los pontos A' y B' en el segundo segmento, en la tercer le pondremos CD y en la ultima EF.
  

CONCLUSIÓN:
Los segmentos son congruentes porque tienen la misma forma y medida.

Construcción 3) Dado el angulo ABC construir un ángulo A'B'C' que resulte congruente con aquél.

• Trazamos un segmento de cualquier medida 
• haremos centro con el compás para después hacer una circunferencia que pase por el segmento BA y BC
• En el segmento donde paso la circunferencia le pondremos un punto y se llamara d y en el segmento BC el punto se llamara E
• Con el segmento que trazamos anteriormente le pondremos a una de sus esquina B', hacemos centro en B' para después hacer la misma circunferencia que teníamos anteriormente 
• El segmento que trazamos a sido costado por la circunferencias, por lo tanto a la otra esquina le pondremos A', y en donde la circunferencia divide a B'A' le pondremos un punto y se llamara D'
• Para poder terminar de hacer nuestro anulo lo siguiente que haremos sera centrar en D y abrirlo hasta E.
• Con es medida haremos centro en D' y haremos que cruce a la mitad de la otra circunferencia anterior, a esa intersección le llamaremos E'.
• Teniendo en cuenta la dirección de las  manecillas del reloj ,el segmento que marcamos tomamos dirección contraria de las manecilla y trazamos un segmento que empieza en B´ y cruce por la marca de E´.

Construcción 4) Dado el ángulo ABC traza una recta o semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos congruentes

• Vamos a utilizar nuestro compás , hacemos centro en B y haremos una circunferencia que cruce por el segmento BA y BC
• En esos puntos donde la circunferencia cruce con el segmento BA le pondremos D y en BC le pondremos E
• Ahora hacemos centro en D y abrimos el compás hasta el punto B, empezamos hacer una circunferencia, hacemos lo mismo pero desde el punto E y lo abrimos hasta el punto B. No es necesario hacer toda la circunferencia solo necesitamos que las dos circunferencias crucen entre sí
• El punto donde las dos circunferencias se cruzan le llamaremos F
• Despues con una regla haremos una line que pase por B y F
• Así ya teneos dos angulos congruente, porque ambos tienen misma forma y mismo tamaño.

CONCLUSIÓN
La semirecta que pasa por los puntos B y F es una bisectriz,Los triángulos BDF y BEF son congruentes entre si.

Construcción 5) Traza una recta que divida a un segmento en dos partes.

• Lo que tenemos es una recta, así que lo que tendremos que hacer es poner dos esquinas una A y la otra B
• Ahora con tu compás haz centro del punto A y ábrelo al punto B, haz una circunferencia y ahora haz lo mismo pero centrando desde B y ábrelo hasta A y empieza a hacer otra circunferencia (no es necesario hacerla toda, nada mas necesitamos que las dos circunferencias choquen entre si).
• Nos daremos cuenta que en la parte de arriba y de abajo las dos circunferencia cruzan por lo tanto a un de ellas le pondremos punto c y en la otra D
• Ahora con ayuda de una regla uniremos los dos puntos C y D. Por lo tanto notaremos que el segmento AB esta dividida en dos y la linea que los divide recibe el nombre de mediatriz, todos los puntos que forman a la mediatriz ,son equidistantes,tienen misma distancia a A o B, y solo queda decir que F es el punto medio del segmento AB

Construcción 6) Traza una recta que divida a un segmento en tres partes iguales.

• En la imagen lo que nos otorga es una linea recta,por lo tanto le pondremos a cada esquina A y B
• Ahora con ayuda de una regla trazaremos otra linea a partir del punto A, de tal manera que se formar un ángulo (no importa que medida tenga la linea)
• Con tu compás lo que haremos sera abrirlo al tamaño de tus dos dedos (del indice y del medio), ahora marcaremos esa medida tres veces en los dos segmentos 
• En el segmento que marcamos el ultimo punto lo llamaremos E, y el que esta despues del A lo llamaremos C y el de en medio D. En el segmento original despues dle punto A el otro punto se llamra G y el F
• Ahora uniremos cad punto CG, DF y EB
• Los tres puntos que se hicieron en la recta 1 son las 3 partes en las que hay que dividir y así lograr la primera construcción
  

CONCLUSIÓN 
Los segmentos EB, DF y CG son paralelos entre sí.

Construcción 7) Si L es una recta y P un punto fuera de ella, construir una recta que represente la distancia que existe entre dicho punto y recta.

• Pon un punto en una esquina de la linea L
• Vamos a  medir la distancia que hay del punto P con el punto que marcamos en la linea L 
• Ahora ya que tenemos esa medida, centramos en P y la distancia que hay del punto marcado hay que hacer una intersección del otro lado haciendo una circunferencia con la medida que se tiene actualmente del compás 
• Con esa mis mamedida que tenemos lo que haremos sera que con el punto de la linea L haremos una circunferencia pero hacia el lado contrario del punto y P, de igual forma pero del otro lado con el otro punto
• Cuando las dos circunferencias estén unidas trazaremos una linea para llegar del punto P hasta donde están las dos circunferencias.
• De esta forma se divide la linea L

CONCLUSIÓN:
La perpendicular pasa por el segmento más corto entre el punto y la recta.


Construcción 8) Si L es una recta y P un punto sobre esta, entonces construir una recta perpendicular a L que pase por P.

• Primero pondremos un punto en cualquier parte de la recta L
• Lo que haremos es con ayuda de nuestro compás es centra en el punto que hicimos anteriormente y abrirlo hasta el punto P
• Con la medida de tenemos del punto de la recta L al punto P, marcar donde corta del lado contrario de la recta
• Ahora lo que haremos sera abrir el compás desde nuestro primer punto hasta donde intersecta del otro lado. Así con esa mdedia que tenemos haremos centro en uno de los dos puntos de cad esquina trazamos una circunferencia, haciendo lo mismo del otro lado 
• En el momento de que las dos circunferencias cruzan lo que haremos sera unir esos  dos puntos que haran que crucen con el punto P
•  Esa línea es la que pasa por enmedio de la recta y es la distancia más corta

CONSTRUCCIÓN 8.1)Traza la línea paralela que pasa por el punto P a la recta L.

• Marcar una recta con ayuda de la regla a la que llamaremos L.
• Maca un punto P fuera de la recta L.
• Haz centro en P, abre el compás hasta donde llegue a intersectar con la linea L, marca esa dos lineas de un lado y del otro, esos puntos se llamaran A y B
• Ahora centra en A y abre tu compás hasta el punto P y has una media circunferencia donde cruce de ambos lado con L, haz lo mismo pero ahora centra con B y haz los mismos pasos anteriores 
• Del lado derecho del punto A le pondremos punto D y del lado izquierdo de la circunferencia que se formo del punto le pondremos C
• Ahora del punto B del lado derecho le pondremos E y del lado izquierdo F
• Con la misma media que tenemos del compás,  centra en D y haz una media circunferencia, haz lo mismo pero centraq en F ( F pasa por el punto B y D  pasa por el punto A)
• Ahora centra en E y haz que intersecte con la circunferencia que se hizo del punto D
• Tambien haz centro con C y haz un cruce con la interseccion del punto F
• Por ultimo une el punto P con las dos inetersecciones que se hicieron anteriormente 
• Así quedaría una línea recta paralela que atraviese a punto P.

Glosario de Geometría

GLOSARIO

1° Punto: es una «figura geométrica» a dimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.

El punto en geometría es un ente fundamental: esto quiere decir que sólo puede definirse realizando una comparación con otros elementos. De este modo, el punto no se define por sí mismo, sino que adquiere su significado a partir de su relación con otros conceptos.

A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc.

                                                    

                                                     

2° Linea: Aunque intuitivamente sabemos que es una línea , actualmente es díficil dar una buena definición matemática. Aproximadamente, podemos decir que una línea es una colección de puntos infinitamente delgada, infinitamente larga extendiéndose en dos direcciones opuestas. Cuando dibujamos líneas en geometría, usamos una flecha en cada extremo para mostrar que se extiende infinitamente.

                                 

Una línea puede ser nombrada ya sea usando dos puntos en la línea (por ejemplo,  ) o simplemente por una letra, usualmente minúscula (por ejemplo, línea m ).

3° Linea recta: La recta, o linea recta, es la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión; esta compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos).

                          

4° Semirrecta: Cuando en una recta señalas un punto, a cada uno de los tramos a ambos lados de la misma llamamos semirrecta:

Como puedes observar, la recta que pasa por el punto A ha quedado dividida en dos partes representadas por las semirrectas m y n.

Podemos decir que una semirrecta es parte de una recta que tiene principio u origen y no tiene fin.

5° Segmento de linea recta: Si sobre una recta señalas dos puntos, el trozo de esa recta llamamos segmento

En la figura siguiente tienes la recta r sobre la que hemos señalado dos puntos A y B. Al trozo de recta entre A y B llamamos segmento.

Cuando veas la notación  se refiere al segmento existente entre A y B. Casi siempre, a los segmentos los designamos con letras mayúsculas.

En la figura que tienes a continuación puedes ver:

1) Los puntos A y B.

2) Las semirrectas  m y n

3) El segmento AB

Las semirrectas m y n  tienen principio u origen pero no tienen fin.

La porción de recta (en color rojo) comprendida entre los puntos A y B es un segmento.

7° Sistema de medición de ángulos (grados (decimal y sexagesimal) y radianes).

Como convertir de grados a radianes y de grados a decimales a grados sexagesimales.

• Sistema sexagesimal: Sistema de 360º, su unidad es el grado sexagesimal (º), cada grado a su vez se divide en 60 triángulos iguales llamados minutos (´), y estos a su vez se dividen en 60 partes iguales llamados segundos (").

Convertir los grados a radianes: Consultar siguiente video.

Convertir de grados a decimales a grados sexagesimales: Consultar siguiente video

                                       

8) Una clasificación de ángulos según su medida es:

Para las clasificaciones ver el siguiente video

• Ángulo recto
• Ángulo agudo
• Ángulo obtuso
• Ángulo llano
• Ángulo entrante o cóncavo 
• Ángulo perigonal

                                    

9) Otra clasificación de los ángulos según su posición es:

• Opuesto por el vértice:son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

              

                                  

                                                   

• Adyacentes: son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro. Forman un ángulo llano.

                                                

• Coplementarios
• Suplementarios

Dar click en el video

                                    

10) Triángulo 

El triángulo es un polígono de tres lados que da origen a tres vértices y tres ángulos internos. Es la figura más simple, después de la recta en la geometría. Como norma general un triángulo se representa con tres letras mayúsculas de los vértices (ABC).

                                                        

11) Clasificación de los triángulos por sus lados. Ver el siguiente vídeo 

12) Clasificación de los triángulos por sus ángulos. ver el siguiente vídeo 

                                        

13) Rectas y puntos notables en el triángulo 

La mediana es el segmento que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. El punto de corte se llama Baricentro (centro de gravedad del triángulo) Activando la casilla de verificación de los Puntos medios de los lados se muestran dichos puntos. Activando la casilla de verificación del Baricentro se muestran las medianas y su punto de corte.

La mediatriz de un segmento es la perpendicular a dicho segmento por su punto medio. También es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. Su punto de corte se llama circuncentro (centro de la circunferencia circunscrita) Activando la casilla de verificación del Circuncentro se muestran las mediatrices y el circuncentro.

La altura de un triángulo es la recta perpendicular a un lado (ó a su prolongación) por el vértice opuesto. El punto de corte de las alturas es el ortocentro. Activando la casilla de verificación del Ortocentro se muestran las alturas y su punto de corte.

El Baricentro, el Circuncentro y el Ortocentro de cualquier triángulo están alineados. La recta que pasa por dichos puntos se llama recta de Euler. Activando las casillas de verificación de dichos puntos y de la Recta de Euler se puede comprobar dicha propiedad (la recta de Euler aparece en trazo discontinuo)

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales. También es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. El punto de corte de las bisectrices es el incentro (centro de la circunferencia inscrita) Activando la casilla de verificación del Incentro se muestran las bisectrices y su punto de corte.

14) Polígonos regulares e irregulares

Ver vídeo.

15) Propiedades de los polígonos.

a. Suma de los ángulos interiores.

b. Numero de triángulos que se forman en el interior 

16) Perímetro y área de polígonos.

                                       

17) Fórmula de Herón 

La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c).

                                   

18) Circunferencia, rectas y segmento.

LA CIRCUNFERENCIA

Es una línea curva cerrada y plana formada por un conjunto de puntos que equidistan de otro punto fijo llamado centro “O”, la distancia constante del centro a todos los puntos de la circunferencia recibe el nombre de radio.

También podemos definirá a la circunferencia como el contorno o perímetro del círculo.

Rectas  

•       Centro. Es el punto fijo dentro de la circunferencia, cuya distancia a cualquier punto en el contorno es la misma.

•       Circunferencia. Contorno exterior del circulo, también se conoce como el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es la misma.

•       Radio. Es la distancia del centro del circulo a cualquiera de los puntos de la circunferencia.

•       Cuerda. Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

•       Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Segmentos

•       Secante. Es la recta que corta la circunferencia en dos puntos diferentes

•       Recta exterior.  Son todas las rectas que no cortan la circunferencia

•       Recta tangente. Es la recta que toca la circunferencia en un solo punto

•       Recta normal. Es una recta secante que además pasa por el centro de la circunferencia; es importante señalar que la recta tangente y la normal forman un ángulo de 90°

                           

19) Ángulos en la circunferencia.

·            Ángulo central tiene su vértice en el centro por lo que sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

·            Ángulo inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son dos cuerdas.

·            Ángulo semi-inscrito su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

·            Ángulo interior su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

·            Ángulo exterior tiene su vértice en el exterior de la circunferencia  y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

                

                               

Bibliografias consultadas

http://norgeometria.blogspot.mx         

https://definicion.de

https://www.varsitytutors.com

https://mx.answers.yahoo.com

https://geometriaeltrigo.wordpress.com

http://rea.ceibal.edu.uy/

http://filemon.upct.es

http://conceptodefinicion.de/triangulo/

https://www.geogebra.org/m/NKCCWWDj

http://solecito21roch.blogspot.mx/2012/09/la-circunferencia-sus-rectas-segmentos.html